Come for Learn: ভেক্টর: সমীকরণ প্রতীক পরিচিতি একক ১.ভেক্টরের স্কলার বা ডট গুণন : (ⅰ) (ⅱ) ওদুটি ভেক্টর θ = এদের মধ্যবর্তী কোণ ২.ক্রস গুণন : 1. 2. 3. Ax, Ay, Az যথাক্রমে X,Y,Z অক্ষ বরাবর এরউপাংশ Bx, By, Bz যথাক্রমে X,Y,Z অক্ষ বরাবর এরউপাংশ ৩.একক ভেক্টর একটি একক ভেক্টর যা ক্রস গুণফলের দিক নির্দেশ করে এর মান ৪.ভেক্টর যোজন (সামান্তরিকের সূত্র :) 1. 2. ও ওএর মধ্যবর্তী কোণ লব্ধি ওএর মধ্যবর্তী কোণ ৫.ভেক্টরের মান : ৬.ভেক্টর বিভাজন যে কোনো দুই দিকে: ভেক্টর বিভাজন (পরস্পর লম্ব দুই দিকে) এর মধ্যবর্তী কোণ ৭.–এর পারস্পারিক ডট গুণফল : i = X অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর j = Y অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর k = Z অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর ৮.এর পারস্পরিক ভেক্টর গুণফল : i = X অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর j = Y অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর k = Z অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর ৯.অবস্থান ভেক্টর = অবস্থান ভেক্টর r = অবস্থান ভেক্টরের মান x ,y, z = r এর স্থানাঙ্ক ১০.লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় : (ⅰ)এর উপরএর লম্ব অভিক্ষেপ (ⅱ)এর উপরএর লম্ব অভিক্ষেপ ১১. এবং হলে, i = X অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর j = Y অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর k = Z অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর ১২. সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল যেখানেওসামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় ১৩.রম্বসের ক্ষেত্রফল যেখানে রম্বসের কর্ণদ্বয়ও ১৪.(ⅰ)এবংপরস্পর সমান্তরাল হবে,যদিহয় । (ⅱ)এবংপরস্পর লম্ব হবে,যদিহয় । গাণিতিক সমস্যার উদহারণ ১. 6 একক ও 4 একক মানের দুইটি ভেক্টর একটি বিন্দুতে ক্রিয়াশীল । এর ভূমির সাথে যথাক্রমে 30° ও 60° কোণ করে। এদের লব্ধির আনুভূমিক ও উলম্ব উপাংশের মান কত? সমাধান : ⇒ লব্ধির আনুভূমিক উপাংশের মান = 6 cos30° + 4 cos60° = (3√3+2) [ans.] লব্ধির উলম্ব উপাংশের মান = 6 sin30° + 4 sin60° = (3+2√3) [ans.] ২. একটি গাড়ি 20ms-1বেগে চলা অবস্থায় বৃষ্টি লম্বভাবে 15ms-1বেগে পড়ছে। আনুভূমিকের সাথে কত কোণে বৃষ্টি গাড়ির কাঁচে পড়বে? সমাধান : tanθ = VR/VC = 15/20 VR = 15ms-1 ∴ θ = 36°52′ [ans.] VC = 20ms-1 ৩. A̅ = 4î+5ĵ-7k̂ , B̅ = 3î+6ĵ-2k̂ (i) A̅ + B̅ = ? (ii) A̅ - B̅ = ? সমাধান : A̅ + B̅ = 7î + 11ĵ - 9k̂ [ans.] A̅ - B̅ = î + ĵ - 5k̂ [ans.] ৪. A̅ = 3î-4ĵ+2k̂ , B̅ = 6î+2ĵ-3k̂ (i) A̅ . B̅ = ? (ii) A̅ × B̅ = ? সমাধান : A̅ . B̅ = (3î-4ĵ+2k̂) (6î+2ĵ-3k̂ ) = 18-8-6 ∴ A̅ × B̅ = 4 [ans.] = î (12-4) – ĵ (-9-12) + k̂ (6+24) = 8î + 21ĵ + 30k̂ [ans.] ৫. P̅ = 2î + ĵ - 3k̂ ; Q̅ = 3î + 2ĵ - k̂ ;ওএর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর। সমাধান : ⇒ P̅.Q̅ = PQ cosθ ⇒ (2î + ĵ - 3k̂)(3î + 2ĵ - k̂) = cosθ ⇒ 6-2-3 = √(4+1+9).√(9+4+1) cosθ ⇒ 1 = √14.√14 cosθ ⇒ θ = cos-1(1/14) ∴ θ = 86° [ans.] ৬. P̅ = 3î - 2ĵ + k̂ ; Q̅ = 4î + mĵ - 6k̂, m-এর মান কত হলে P̅ ও Q̅ পরস্পর লম্ব হবে? সমাধান : ⇒ P̅. Q̅ = PQ cosθ ⇒ cosθ = ( P̅. Q̅)/(PQ) ⇒ cosθ = ⇒ 0 = ⇒ 12-2m-6 = 0 ⇒ 2m = 6 ∴ m = 3 [ans.] ৭. A̅ = 2î - ĵ + k̂ , B̅ = î + 2ĵ + 2k̂; B̅ বরাবর এর লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় কর। সমাধান : : B̅ বরাবর A̅ এর লম্ব অভিক্ষেপ- A cosθ = (A̅ . B̅ ) / B = (2î - ĵ + k̂ ) (î + 2ĵ + 2k̂) / √ (12+22+22) = (2-2+2)/√9 = 2/3 [ans.] ৮. F̅ = î - 2ĵ - k̂ ; S̅ = 5î - 8ĵ + 3k̂ ; F̅ বল এবং S̅ সরণ হলে F̅ বলের ক্রিয়ায় কৃত কাজের পরিমাণ বের কর। সমাধান : W = F̅.S̅ = (î - 2ĵ - k̂) (5î