কৌণিক গতিসূত্র সূত্রসমূহ: সমীকরণ প্রতীক পরিচিতি ও একক ১.ωf= ωo+ αt ২.N = θ / 2π ৩. ৪.ωf2= ω ৫. I = MK2= Σmr2 ৬. K.E = ½ mv2= ½ Iω2 ৭. τ = τIα ৮. F = mω2r ৯. v = ωr ১০.tanθ = v2/ rg ১১.ω = 2πN /T ১২.I = mr2 ১৩.L = Iω ১৪.a = v2/r = ω2r ১৫.Iz= Σmx2+ Σmy2= Ix+Iy ১৬.I = Io+ mh2 ১৭.I = Ml2/ 12 ১৮.I = ½ mr2 ১৯.I = 1/3 ml2 ωf= শেষ কৌনিক বেগ {রেডিয়াম/সে.(rads-1)} ωo= আদি কৌনিক বেগ α = কৌণিক ত্বরণ {রেডিয়াম/সে.২(rads-2)} θ = কৌণিক সরণ (ডিগ্রি) I = জড়তার ভ্রামক {কেজি-মি২(kgm2)} K = চক্রগতির ব্যাসার্ধ {মিটার (m)} M = ভর {কেজি ( kg)} τ = টর্ক {নিউটন মিটার (Nm)} K.E = গতিশক্তি {জুল (J)} F = টান বা বল {নিউটন (N)} v = বেগ {মিটার /সে.(ms-1)} ω = কৌণিক বেগ {রেডিয়ান/সে.(rads-1)} r = ব্যাসার্ধ {মিটার (m)} g = অভিকর্ষজ ত্বরণ N = ঘূর্ণন সংখ্যা a = রৈখিক গতি T = পর্যায় কাল {সেকেন্ড (s)} L = কৌণিক ভরবেগ {কেজি মিটার২/সে.(kgm2s-1) } Ix= x অক্ষ বরাবর জড়তার ভ্রামক Iy= y অক্ষ বরাবর জড়তার ভ্রামক Iz= z অক্ষ বরাবর জড়তার ভ্রামক গাণিতিক সমস্যা ও সমাধানঃ ১.50gm ভরের একটি বস্তুকে 1m দীর্ঘ একটি সুতার সাহায্যে বৃত্তাকার পথে ঘুরানো হল। বস্তুটি প্রতি সেকেন্ডে 4 বার বৃত্তপথ আবর্তন করে।সুতার টান কত? সমাধান : টান, F = mrω2 = mr(2πn) 2 = (50/1000) × 1 × (2×3.14×4)2 ∴ F = 31.6ms-1[ans.] ২.একটি তামার গোলকের ভর 0.05kg । এটিকে 2m দীর্ঘ একটি সুতার এক প্রান্তে বেঁধে প্রতি সেকেন্ডে 5 বার ঘুরানো হচ্ছে।গোলকটির কৌণিক ভরবেগ কত? সমাধান : L = Iω = mr2× 2πr = .05 × 2 2× 2π × 5 = 6.28kgm 2s-1[ans.] ৩.কোন অক্ষ সাপেক্ষে একটি লৌহ নির্মিত বস্তুর চক্রগতির ব্যাসার্ধ 0.5m । বস্তুটির ভর 0.5kg হলে জড়তার ভ্রামক কত? সমাধান : I = mr2= 0.5 × .52 ∴ I = 0.125kg-m2[ans.] ৪.একজন সাইকেল আরোহী ঘন্টায় 24km বেগে 30m ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তাকার পথে মোড় নিচ্ছে। তাকে উলম্বের সাথে কতো কোণে হেলে থাকতে হবে? সমাধান : tanθ = v2/rg v = 2kmh-1 ⇒ θ = tan-1r = 30m ∴ θ = 8.6° [ans.] ৫.একটি বলয়ের ভর M ও ব্যাসার্ধ r । যে কোন একটি ব্যাসের সাপেক্ষে বলয়টির জড়তার ভ্রামক নির্ণয় কর। সমাধান : I = = [ ] ∴ I = mr2/2 [ans.] ৬.একটি পানি ভর্তি বালতিকে 160cm ব্যাসের বৃত্তাকার পথে উলম্ব ভাবে ঘুরানো হচ্ছে যে বালতি উপুর হওয়া সত্তেও পানি পড়ছে না। এর বেগ কত? সমাধান : এক্ষেত্রে, mv2/r = mg ⇒ v = √(rg) = ⇒ v = 280 cms -1[ans.]

গতি সূত্র: সূত্র সমীকরণ প্রতীক ও একক 1.F = ma 2. বলের ঘাত, J̅ = F̅ × t̅= mv̅ - mu̅ 3.ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র, m­1u̅1+ m2u̅2= m1v̅1+ m2v̅2 4. পশ্চাৎবেগ, mv̅ = - MV̅ 5.v = u + at 6.ত্বরণ, a = v – u / t 7.v2= u2+ 2as 8.রকেটের ত্বরণ, 9.x-xo= vxo+ ½ axt2 10.বলের ভারসাম্য, ΣF = 0 11. Jx= F∆t F = বল {নিউটন (N)} m = বস্তুর বল {কেজি (kg)} a = ত্বরণ {মিটার/সে.২(ms-2)} t = সময় m = বস্তুর ভর v = শেষ বেগ u = আদি বেগ s = {দূরত্ব (m)} ur= রকেটের সাপেক্ষে নির্গত গ্যাসের নিম্নমুখী বেগ dm /dt = গ্যাস নির্গমনের হার g = অভিকর্ষজ ত্বরণ jx= বলের ঘাত ∆t = অতি ক্ষুদ্র সময় গাণিতিক সমস্যা ও সমাধানঃ ১.একটি বল 4kg ভর বিশিষ্ট একটি স্থির বস্তুর উপর ক্রিয়া করে । এর ফলে বস্তুটি 6s–এ 30ms-1বেগ প্রাপ্ত হয়। বলের মান কত? সমাধান : F = ma = m.(v/t) m = 4kg = 4×(30/6) t = 6s ∴ F = 20N [ans.] v = 30ms-1 ২.150kg ভরের একটি গাড়ি ঘন্টায় 36km বেগে চলছিল ।ব্রেক চেপে একে 25m দূরত্বে থামিয়ে দেয়া হলো । বাধা দান কারী বলের মান কত? সমাধান : V2= Vo2– 2as Vo= 36kmh-1 ⇒ 0 = (36×1000/3600)2– 2a×25 S = 25m ⇒ a = 2ms-2 ∴ বল, F = ma = 150×2 ∴ F = 300N [ans.] ৩.5 মেট্রিক টন ভরের পানি বোঝাই একটি ট্রাক 20ms-1বেগে চলছিল। এমন সময় ট্রাকের ছিদ্র দিয়ে 100 kg বালি নিচে পড়ে গেল। ট্রাকের বর্তমান বেগ কত? সমাধান : m1v1= m2v2v1= 20ms-1 ⇒ 5000×20 = (5000-100)v2m1= 5×1000 kg m =4900 kg ∴ v 2= 20.4ms-1[ans.] v2= ? ৪.1.5kg ভরের একটি বই একটি টেবিলের উপর আছে।টেবিলের তল বরাবর কত তলে টানলে বইটি চলা শুরু করবে? (μs= 0.2) সমাধান : μs= Fs/R m = 1.5kg ⇒ Fs= μsR = μsmg μs= 0.2 = .2×1.5×9.8 R = mg ∴ Fs= 2.94N [ans.] ৫.একটি কাঠের তক্তার উপর অবস্থিত একটি ইটের ইটের পিস্টন কোণ 40° । ইট ও তক্তার মধ্যকার স্থিত ঘর্ষণ গুণাঙ্ক কত? সমাধান : μs= tanα = tan40° ∴ μs= 0.84 [ans.] ৬.2kg ভরের একটি বস্তুকে একটি অনুভূমিক তলের উপর দিয়ে 6N বল দ্বারা টানা হচ্ছে । বস্তুটির ত্বরণ কত?(μk= .3) সমাধান : F-Fs= ma m = 2kg ⇒ F-μkR = ma μk= 0.3 ⇒ F-μkmg = ma F = 6N ⇒ a = (6-.3×2×9.8)/2 ∴ a = 0.06ms-2[ans.] ৭.2×104kg ভরের রকেটের 80% হচ্ছে জ্বালানী। যদি জ্বালানী গ্যাসের আকারে 1kms-1বেগে নির্গত হয়,তবে রকেটটির শেষ বেগ কত হবে? (অভিকর্ষ ও বাধা উপেক্ষা করে) সমাধান : m1v1= m2v2m1= (2×104×.8)kg ⇒ (2×104×.8) × 1 × 1000 = (2×104×.2) × v2m2= (2×104×.2)kg ⇒ v2= 4000ms-1v1= 1kms-1 ∴ v2= 4kms-1[ans.]

দ্বিমাত্রিক গতি (two dimensional motion): সমীকরণ প্রতীক পরিচিতি ও একক ১.গড় বেগ,V̅ = ∆r̅ / ∆t ২.বেগ, v̅ = dr̅ / dt ৩. ত্বরণ, a̅ = dv̅ / dt ৪.v̅ = v̅o+ a̅t ৫.r̅ = r̅o+ ½ (v̅o+v̅)t ৬.r̅ = r̅o+ v̅ot+ ½ a̅t2 ৭.v̅.v̅ = v̅o.v̅,o+2a̅ (r̅-r̅0) ৮.ω = dθ / dt ω = θt ৯.a = v2/ r ১০.ω = 2π / t ১১. ১২. ১৩. v = ωr ১৪.গতিপথের সমীকরণ y = bx-cx2 ১৫. ১৬. ১৭.Rmax = vo/ g ১৮. ১৯.ω2= ω1+ αt ২০.θ = ω1t + ½ αt2 ২১.ω = 2ωπN / t ২২. v = 2πr / T ২৩.v sinθ = vosinθo+ gt ২৪. v cosθ = vocosθo ২৫.s = (vocosθo)t V̅ = গড় বেগ {মি.সে (ms-1)} r̅ , r̅o= সরণ {মিটার (m)} t = সময় {সেকেন্ড (s)} v̅ = শেষ বেগ v = রৈখিক গতি a, a̅ = ত্বরণ {মিটার/সে.২(ms-2)} v̅o= আদিবেগ ω = কৌণিক বেগ {রেডিয়ান/সে (rad-1)} θ = কৌণিক সরণ g = অভিকর্ষজ ত্বরণ {মিটার/সে.২(ms-2)} r = বৃত্তের ব্যাসার্ধ H = সর্বোচ্চ উচ্চতা v0= নিক্ষেপণ বেগ θ০ = নিক্ষেপণ কোণ T = বিচরণ কাল Rmax= সর্বোচ্চ পাল্লা α = কৌণিক ত্বরণ {রেডিয়ান/সে.২(rads-2)} ω1= আদি কৌণিক বেগ ω2= শেষ কৗণিক বেগ N = ঘূর্ণন সংখ্যা গাণিতিক সমস্যা ও সমাধানঃ ১.20ms­1গতিবেগে এবং 30° নিক্ষেপ কোণে একটি বস্তুকে শূন্যে নিক্ষেপ করা হলো। প্রাসটির- (i) সর্বোচ্চ উচ্চতা কত? (ii) পাল্লা কত? (iii) বিচরণ কত? সমাধান : (i) Hmax= (Vo2sin2α)/2g = (202sin230°)/(2×9.8) Vo= 20ms­1 = 5.1m [ans.] α = 30° (ii) R = (Vo2sin2α)/g = {202sin(2×30)} / 9.8 = 35.347m [ans.] (iii) T = 2Vosinα/g = (2×20×sin30°)/9.8 = 2.04s [ans.] ২.একটি বস্তুকে 40ms-1বেগে এবং 35° কোণে শূন্যে নিক্ষেপ করা হলো। কখন বস্তুটির বেগের অভিমুখ আনুভূমিক হবে? সমাধান : Vt= Vosinθ – gt Vo= 40ms-1 ⇒ 0 = 40 sin35° - 9.8×t θ = 35° ∴ t = 2.345s [ans.] ৩.একটি হাত ঘড়ির সেকেন্ডের কাটার দৈর্ঘ্য 1.7cm ।এর প্রান্তে রৈখির বেগ নির্ণয় কর। সমাধান : V = rω = r.(2π/T) = (1.7×2×3.14)/60 ∴ V = 0.178cms-1[ans.] ৪.স্থির অবস্থা হতে একটি কণাকে 3.14rad/sec2সমকৌণিক ত্বরণে বৃত্তাকার পথে ঘুরালে 10s এ কণাটি কত বেগ লাভ করে? এ সময়ে কণাটি কত বার ঘুরবে? সমাধান : wf= αt = 3.14×10 α = 3.14 rad/s2 ∴ wf= 3.14 rad/s [ans.] t = 10s N = θ/2π = (1/2 αt2)/2π = (1/2×3.14×102)/2π ∴ N = 25 বার [ans.] ৫.একটি বৈদ্যুতিক পাখার সুইচ ‘অন’ করলে 10 বার পূর্ণ ঘুর্ণনের পর পাখাটির কৌণিক বেগ 20rad/s হয়।কৌণিক ত্বরণ কত? সমাধান : Wf2= wi2+ 2αθ wi = 0 ⇒ 202= 0 + 2×α×20π wi= 20rad/s ∴ α = 3.185rad/s2[ans.] θ = 2πN = 2π×10 = 20π

রৈখিক গতি (Linear motion): সূত্র প্রতীক পরিচিতি ও একক ১.Vx= dx / dt ২. ax= dvx/dt ৩. v = u +at ৪. s = ut + ½ at2 ৫.v2= u2+ 2as ৬.vx= vx0+ axt ৭. x = x0+ ½ (vx0+ vx) t ৮.x = x0+ vx0t + ½ axt2 ৯.vx2= vx02+ 2ax(x-x0) ১০.s = v + t = ut + ½ at2 ১১.H = u2/ 2g ; t = u / g ১২.Sth= u + ½ a (2t-1) ১৩.খাড়াভাবে নিক্ষিপ্ত বস্তুর গতির সমীকরণ : (ⅰ) v = u ± gt ; (ⅱ) v2= u2± 2gh ; (ⅲ) h = ut ± ½ gt2 (ⅳ) hth= u ± ½ g (2t-1) ১৪.v = ΔS / Δt ১৫.পড়ন্ত বস্তুর ক্ষেত্রে : (ⅰ) v = gt (ⅱ) h = ½ gt2 (ⅲ) v2= 2gh (ⅳ) hth= ½ g (2t -1) (ⅴ) T = 2u / g dx / dt = t এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ ax= ত্বরণ {মি.সে২ (ms-2)} v = শেষ বেগ u = আদিবেগ a = ত্বরণ t = সময় s = সরণ s = দূরত্ব vx= শেষ বেগ vxo= আদি বেগ ax= ত্বরণ H = সর্বোচ্চ উচ্চতা g = অভিকর্ষজ ত্বরণ Sth= তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব h = উচ্চতা বা দূরত্ব v̅ = গড় বেগ ∆S = অতি ক্ষুদ্র দূরত্ব ∆t = অতি ক্ষুদ্র সময় T = ভ্রমন কাল 1.একটি বস্তুকে খাড়া উপরের দিকে 100ms-1বেগে নিক্ষেপ করা হলো । বস্তুটি যখন 300m উঁচুতে থাকবে তখন এর বেগ কত? সমাধানঃ V = √(Vo2– 2gh) Vo= 100ms-1 = √(1002- 2×9.8×300) h = 300m ∴ V = ±64.2ms-1[+ve → 300 m উপরে ওঠার বেগ -ve → 300 m নিচে নামার বেগ] [ans.] 2.5m উঁচুতে একটি পাহাড়ের কোন স্থান থেকে একটি বস্তুকে খাড়া উপরের দিকে 200ms-1নিক্ষেপ করা হলো । 10s-1এ বস্তুটি উক্ত স্থান সাপেক্ষে কত উচ্চতায় উঠবে? সমাধানঃ h = Vot – ½ gt2Vo= 200ms-1 = 200×10 – ½ × 9.8 × 102t = 10s ∴ h = 1510m [ans.] 3.একটি বস্তুকে 98ms-1বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হলো ।সর্বাধিক উচ্চতা কত? সমাধানঃ Hmax= (Vo2)/(2g) Vo= 98ms-1 = 982/(2×9.8) ∴ Hmax= 490m [ans.] 4.একটি ট্রেন স্থির অবস্থান হতে 6ms-2ত্বরণে চলতে আরম্ভ করল ।একই সময়ে একটি গাড়ি 900m সামনের কোন স্থান 60ms-1হতে ।সমবেগে ট্রেনের সমান্তরালে চলা শুরু করল । গাড়িটি কত পথ গেলে ট্রেন গাড়িটিকে পেছনে ফেলে যাবে? সমাধানঃ S1= Vot + ½ at2 S2= Vt আবার, S1= 900+S2V = 60ms-1 ⇒ 0 + ½ × 6xt2= 900 + 60t ⇒ 3t2– 60t – 900 = 0 ⇒ t2– 20t – 300 = 0 ∴ t = 30s S2= 60×30 = 1800m [ans.] 5.একটি ট্রেন স্থির অবস্থান হতে 5ms-2ত্বরণে চলতে শুরু করল । একই সময় একটি গাড়ি 50ms-1সমবেগে ট্রেনের সমান্তরালে চলা শুরু করল । ট্রেন গাড়িটিকে কখন পেছনে ফেলে যাবে? সমাধানঃ s1= Vot + ½ at2...(i) V0= 0 s2= Vt ...(ii) V = 50ms-1 এখন, S1= S2a = 5ms-2 ⇒ Vot + ½ at2= Vt ⇒ 0 + ½ × 5xt2= 50t ∴ t = 20s [ans.] 6.কোন মিনারের উপর থেকে একটি মার্বেলটি ভূমি স্পর্শ করার পূর্ববর্তী সেকেন্ডে 34.3m দূরত্ব অতিক্রম করে ।মিনারটির উচ্চতা কত? সমাধানঃ ht = V0+ ½ g(2t-1) ht= 34.3m ⇒ 34.3 = 0 + 4.9(2t-1) ⇒ 9.8t = 39.2 ∴ t = 4 ∴ উচ্চতা, h = ½ gt2= 4.9 × 42 ∴ h = 78.4m [ans.] 7.S = ½ t3+2t সূত্রানুসারে একটি বস্তু সরলরেখা বরাবর গতিশীল, 4s সময়ে বস্তুটির বেগ কত? সমাধান : S = ½ t3+2t t = 4s ⇒ (ds)/(dt) = 3/2 × t2+ 2 ⇒ V = 3/2(4)2 + 2 ∴ V = 26 unit [ans.] 8.একটি কণা a = 3t2+4t3ft/s2ত্বরণে চলছে । যাত্রা শুরুর 4s পর কণাটির বেগ কত? [যখন t=0, V=10ft/s] সমাধানঃ a = 3t2+4t3 ⇒ du/dt = 3t2+4t3 ⇒= ⇒ [V]= [t3+t4] ⇒ v-10 = 43+44 ∴ v = 330 ft/s [ans.]

ভেক্টর: সমীকরণ প্রতীক পরিচিতি একক ১.ভেক্টরের স্কলার বা ডট গুণন : (ⅰ) (ⅱ) ওদুটি ভেক্টর θ = এদের মধ্যবর্তী কোণ ২.ক্রস গুণন : 1. 2. 3. Ax, Ay, Az যথাক্রমে X,Y,Z অক্ষ বরাবর এরউপাংশ Bx, By, Bz যথাক্রমে X,Y,Z অক্ষ বরাবর এরউপাংশ ৩.একক ভেক্টর একটি একক ভেক্টর যা ক্রস গুণফলের দিক নির্দেশ করে এর মান ৪.ভেক্টর যোজন (সামান্তরিকের সূত্র :) 1. 2. ও ওএর মধ্যবর্তী কোণ লব্ধি ওএর মধ্যবর্তী কোণ ৫.ভেক্টরের মান : ৬.ভেক্টর বিভাজন যে কোনো দুই দিকে: ভেক্টর বিভাজন (পরস্পর লম্ব দুই দিকে) এর মধ্যবর্তী কোণ ৭.–এর পারস্পারিক ডট গুণফল : i = X অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর j = Y অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর k = Z অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর ৮.এর পারস্পরিক ভেক্টর গুণফল : i = X অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর j = Y অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর k = Z অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর ৯.অবস্থান ভেক্টর = অবস্থান ভেক্টর r = অবস্থান ভেক্টরের মান x ,y, z = r এর স্থানাঙ্ক ১০.লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় : (ⅰ)এর উপরএর লম্ব অভিক্ষেপ (ⅱ)এর উপরএর লম্ব অভিক্ষেপ ১১. এবং হলে, i = X অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর j = Y অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর k = Z অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর ১২. সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল যেখানেওসামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় ১৩.রম্বসের ক্ষেত্রফল যেখানে রম্বসের কর্ণদ্বয়ও ১৪.(ⅰ)এবংপরস্পর সমান্তরাল হবে,যদিহয় । (ⅱ)এবংপরস্পর লম্ব হবে,যদিহয় । গাণিতিক সমস্যার উদহারণ ১. 6 একক ও 4 একক মানের দুইটি ভেক্টর একটি বিন্দুতে ক্রিয়াশীল । এর ভূমির সাথে যথাক্রমে 30° ও 60° কোণ করে। এদের লব্ধির আনুভূমিক ও উলম্ব উপাংশের মান কত? সমাধান : ⇒ লব্ধির আনুভূমিক উপাংশের মান = 6 cos30° + 4 cos60° = (3√3+2) [ans.] লব্ধির উলম্ব উপাংশের মান = 6 sin30° + 4 sin60° = (3+2√3) [ans.] ২. একটি গাড়ি 20ms-1বেগে চলা অবস্থায় বৃষ্টি লম্বভাবে 15ms-1বেগে পড়ছে। আনুভূমিকের সাথে কত কোণে বৃষ্টি গাড়ির কাঁচে পড়বে? সমাধান : tanθ = VR/VC = 15/20 VR = 15ms-1 ∴ θ = 36°52′ [ans.] VC = 20ms-1 ৩. A̅ = 4î+5ĵ-7k̂ , B̅ = 3î+6ĵ-2k̂ (i) A̅ + B̅ = ? (ii) A̅ - B̅ = ? সমাধান : A̅ + B̅ = 7î + 11ĵ - 9k̂ [ans.] A̅ - B̅ = î + ĵ - 5k̂ [ans.] ৪. A̅ = 3î-4ĵ+2k̂ , B̅ = 6î+2ĵ-3k̂ (i) A̅ . B̅ = ? (ii) A̅ × B̅ = ? সমাধান : A̅ . B̅ = (3î-4ĵ+2k̂) (6î+2ĵ-3k̂ ) = 18-8-6 ∴ A̅ × B̅ = 4 [ans.] = î (12-4) – ĵ (-9-12) + k̂ (6+24) = 8î + 21ĵ + 30k̂ [ans.] ৫. P̅ = 2î + ĵ - 3k̂ ; Q̅ = 3î + 2ĵ - k̂ ;ওএর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর। সমাধান : ⇒ P̅.Q̅ = PQ cosθ ⇒ (2î + ĵ - 3k̂)(3î + 2ĵ - k̂) = cosθ ⇒ 6-2-3 = √(4+1+9).√(9+4+1) cosθ ⇒ 1 = √14.√14 cosθ ⇒ θ = cos-1(1/14) ∴ θ = 86° [ans.] ৬. P̅ = 3î - 2ĵ + k̂ ; Q̅ = 4î + mĵ - 6k̂, m-এর মান কত হলে P̅ ও Q̅ পরস্পর লম্ব হবে? সমাধান : ⇒ P̅. Q̅ = PQ cosθ ⇒ cosθ = ( P̅. Q̅)/(PQ) ⇒ cosθ = ⇒ 0 = ⇒ 12-2m-6 = 0 ⇒ 2m = 6 ∴ m = 3 [ans.] ৭. A̅ = 2î - ĵ + k̂ , B̅ = î + 2ĵ + 2k̂; B̅ বরাবর এর লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় কর। সমাধান : : B̅ বরাবর A̅ এর লম্ব অভিক্ষেপ- A cosθ = (A̅ . B̅ ) / B = (2î - ĵ + k̂ ) (î + 2ĵ + 2k̂) / √ (12+22+22) = (2-2+2)/√9 = 2/3 [ans.] ৮. F̅ = î - 2ĵ - k̂ ; S̅ = 5î - 8ĵ + 3k̂ ; F̅ বল এবং S̅ সরণ হলে F̅ বলের ক্রিয়ায় কৃত কাজের পরিমাণ বের কর। সমাধান : W = F̅.S̅ = (î - 2ĵ - k̂) (5î - 8ĵ + 3k̂) = 5+16-3 ∴ W = 18 একক [ans.]